Линеен оператор
В математиката, линеен оператор (също линейно изображение или линейна трансформация) е изображение V → W между два модула (например две векторни пространства), което запазва операциите на събиране и скаларно умножение. Ако дадено линейно изображение е биекция, тогава става дума за линеен изоморфизъм.[1][2]
Важен частен случай е V = W, където линейното изображение се нарича ендоморфизъм на V. Линейният оператор позволява на V и W да се различават, стига да са реални векторни пространства.
Линейният оператор винаги преобразува векторно подпространство върху векторно подпространство (по възможност с по-малко измерения).[3] Например, той преобразува равнина през началото на координатната система към равнина, права линия или точка. Линейните оператори често могат да се представят във вида на матрици.
В контекста на абстрактната алгебра, линейното изображение е модулен хомоморфизъм. В теорията на категориите, това е морфизъм в категорията на модулите върху даден пръстен.
Определение
редактиранеПри дадени векторни пространства и върху едно и също поле , функцията е линеен оператор, ако за кои да е два вектора и кой да е скалар , са удовлетворени следните две условия:
адитивност / събиране | |
хомогенност от 1 степен / скаларно умножение |
Няма значение дали линейният оператор ще се приложи преди или след операциите на събиране или скаларно умножение, тъй като той запазва тези операции. Чрез асоциативността на операцията за добавяне (+), за всеки вектор и скалар важи следното равенство:[3]
Обозначавайки нулевите елементи на векторните пространства и съответно с и , следва, че . При и в уравнението за хомогенност от първа степен:
Възможно е и да са векторни пространства върху различни полета. В такъв случай е нужно да се уточни кое поле се използва при определението за линеен оператор. Ако и са пространства над едно и също поле (както по-горе), тогава става въпрос за -линейни изображения. Например, комплексното спрегнато на комплексни числа е -линейно изображение , но не е -линейно, където символите и обозначават съответните множества на реалните и комплексните числа.
Линейно изображение , където е едномерно векторно пространство, се нарича линейна форма.[3]
Източници
редактиране- ↑ Линейни изображения. Изоморфизъм на линейни пространства.
- ↑ Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. Third. McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-085613-3. с. 207.
- ↑ а б в Rudin, Walter. Functional Analysis. Second. McGraw-Hill, 1991. ISBN 0-07-054236-8. с. 14.