Меркаторова проекция

Меркаторовата проекция е цилиндрична картографска проекция, предложена от фламандския картограф Герардус Меркатор през 1569 г. Тя се превръща в стандартна картографска проекция за морски цели, заради способността си да представлява линии на постоянен курс, известни като локсодроми като прави сегменти, които държат ъглите с меридианите. Въпреки че линейната скала е равна във всички посоки около всяка точка, като по този начин запазва ъглите и формите на малки предмети, Меркаторовата проекция изкривява размера на предметите с увеличаване ширината от екватора до полюсите, където мащабът става безкраен. Така, например, земи като Гренландия и Антарктида изглеждат много по-големи, отколкото са в действителност по отношение на земни маси в близост до екватора, като Централна Африка.

Меркаторова проекция на света между 82 ° S и 82 ° N.

Меркаторовата проекция описва Гренландия като по-голяма от Австралия; в действителност Австралия е повече от три и половина пъти по-голяма от Гренландия.

Характеристики

• цилиндрична
• конформна
• паралелите са неравномерно разположени прави линии, сгъстени към екватора; секат меридианите под прав ъгъл
• меридианите са равномерно разположени прави линии
• мащабът е верен по дължината на екватора или при двата равноотдалечени от екватора стандартни паралела (при секантен вариант на проекцията)
• Локсодромите са прави линии
• Перспективата не се запазва
• Полюсите са в безкрайността; големи изкривявания на площите при полюсите
• употреба в навигацията

Проекцията обвива с цилиндър референтния елипсоид (земната сфера) и проектира земната повърхнина конформно (запазвайки ъглите) върху цилиндъра. Възможна е секантна вариация на проекцията при която цилиндъра не се допира до елипсоида, а го сече в два стандартни паралела.

История

Картата на Герардус Меркатор от 1569 г

Проекцията е използвана за пръв път от Герардус Меркатор в картата му „Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata“ (Ново уголемено описание на Земята с корекции за навигационна употреба), издадена през 1569 г. Описанието на проекцията е дадено в каре, покриващо Северна Америка.

Употреба

Както при всички картографски проекции, формата и големината са нарушения на реалното оформление на земната повърхност. Меркаторовата проекция увеличава земи, далеч от екватора. Например:

• Гренландия изглежда по-голяма от Африка, когато в действителност площта на Африка е 14 пъти по-голяма, а Гренландия е сравнима по площ с Алжир. Африка също изглежда приблизително същия размер като Европа, когато в действителност Африка е почти 3 пъти по-голяма.
• Аляска заема толкова площ на картата, колкото Бразилия, но площта на Бразилия е почти пет пъти по-голям от тази на Аляска.
• Финландия изглежда с по-голямо северюжно протежение от Индия, въпреки че Индия е по-голяма.
• Антарктида изглежда като най-големият континент (и би била безкрайно голяма на пълна карта), въпреки че тя всъщност е петият по големина континент.

Първата детайлна карта на чужда планета е издадена от USGS през 1972 г. в М1:25 000 000 и изобразява Марс в Меркаторова проекция.

Трансформация

За сфероид

Координати от сферична геодезическа референтна система (датум) може да се трансформират към Декартови координати в Меркаторова проекция със следните формули:

$x=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right)$

(1.1)

$y=R\ln \tan \left(\pi /4+\varphi /2\right)$

(1.2)

или

$y=\left(R/2\right)\left[\ln \left(\left(1+\sin \varphi \right)/\left(1-\sin \varphi \right)\right)\right]$

(1.2a)

където

$R$ – е радиусът на сферата

$\lambda ,\varphi$ – са дадени в радиани

Формули за $\lambda ,\varphi$ в градуси:

$x=\pi R\left(\lambda ^{\circ }-\lambda _{0}^{\circ }\right)/180^{\circ }$

(1.1a)

$y=R\ln \tan \left(45^{\circ }+\varphi ^{\circ }/2\right)$

(1.2b)

За сфероид, обратна

Декартови координати в Меркаторова проекция към сферична геодезическа референтна система (датум) може да се трансформират със следните формули (в радиани):

$\varphi =\pi /2-2\arctan \left(e^{\left(-y/R\right)}\right)$

(2.1)

или

$\varphi =\arctan \left[\sinh \left(y/R\right)\right]$

(2.1a)

$\lambda =x/R+\lambda _{0}$

(2.2)

където

$e$ – е Неперовото число

За елипсоид

$x=a\left(\lambda -\lambda _{0}\right)$

(3.1)

$y=a\ln \left[\tan \left(\pi /4+\varphi /2\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\left(e/2\right)}\right]$

(3.2)

или

$y=\left(a/2\right)\ln \left[\left({\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{e}\right]$

(3.2a)

където

$a$ – е екваториалния радиус на елипсоида

$e$ – е неговия ексцентрицитет

За елипсоид, обратна

$\varphi =\pi /2-2\arctan \left\{t\left[\left(1-e\sin \varphi \right)/\left(1+e\sin \varphi \right)\right]^{\left(e/2\right)}\right\}$

(4.1)

където

$t=e^{\left(-y/a\right)}$

(4.2)

$e$ – е Неперовото число

за начално $\varphi$ се ползва

$\varphi =\pi /2-2\arctan t$

(4.3)

За изчисляването на ур. 4.1 се използва сходящ итеративен алгоритъм: Изчислява се $t$ по ур. 4.2. След това, използвайки начално $\varphi$ от ур. 4.3 за дясната част на ур. 4.1, се изчислява $\varphi$ вляво. Изчисленото $\varphi$ се замества вдясно и калкулацията на ур. 4.1 се повтаря. Итеративният алгоритъм приключва когато изчисленото $\varphi$ при текущата и предишната стъпка са еднакви.

$\lambda =x/a+\lambda _{0}$

(4.4)