Координатна система

(пренасочване от Координати)

Координатната система е система в геометрията, която използва числа, наричани координати, за да определи еднозначно положението на точките или на други геометрични обекти в дадено пространство или по-общо – в дадено математическо многообразие.[1][2] Координатите на дадена точка могат да бъдат различни геометрични величини, като обикновено те са разстояния от точката до определен обект или ъгли между радиус-вектора на точката и определен обект.

Сферичната координатна система е често използвана във физиката: тя свързва три числа (наричани координати) с всяка точка от евклидовото пространство – полярен радиус r, полярен ъгъл θ и азимут φ

Подредбата на координатите има свое значение, като понякога те се идентифицират чрез положението си в наредена група, а в други случаи с определено буквено означение, например „x-координата“. Броят на координатите съответства на размерността на съответното пространство – дадена координатна система може да определя положението на точки върху права (1 координата), равнина (2 координати), триизмерно евклидово пространство (3 координати), фазово пространство в механиката (6 координати) и т.н. Координатите най-често са реални числа, но могат да бъдат и комплексни числа или елементи на по-абстрактни системи, като комутативни пръстени.

Използването на координатни системи дават възможност геометрични задачи да се преобразуват в числови и обратното, като по този начин те са в основата на аналитичната геометрия.[3]

Афинни координатни системиРедактиране

Числова осРедактиране

Най-простият пример за координатна система е определянето на точките от дадена права чрез реалните числа чрез използване на числова ос. При нея се избира произволна точка O (начална точка), лежаща на правата. Координатата на всяка точка P от правата се дефинира като разстоянието от точка O до точка P, взето с положителен или отрицателен знак, в зависимост от това от коя страна на началната точка е разположена точката P. По този начин всяка точка има една единствена координата и всяко реално число е координатата на една единствена точка.[4]

Декартова координатна системаРедактиране

 
Декартова координатна система в равнината

Исторически най-рано създадената (през XVII век от френския математик Рене Декарт, чието име носи) и най-широко използваната в практиката координатна система е декартовата, наричана също правоъгълна.

В равнината декартовата координатна система използва две перпендикулярни прави, като координатите на дадена точка са разстоянията до всяка от тях, взети с положителен или отрицателен знак, в зависимост от това, от коя страна на правата е разположена точката. В триизмерното пространство координатната система използва три взаимно перпендикулярни равнини и координатите на дадена точка са разстоянията до всяка от тях, отново взети със съответния знак.[5] Същият принцип може да бъде приложен и към пространства с повече от три измерения.

 
Абсциса, ордината и апликата. Абсцисна, ординатна и апликатна ос

В двуизмерното и триизмерното пространство координатите на декартовата (и афинната – вижте по-долу) координатна система имат следните наименования:

  • Абсциса – първата координата на една точка. Стандартното означение на абсцисата е x. В координатна система оста, по която се измерва абсцисата, се нарича абсцисна ос и се означава с  .
  • Ордината – втората координата на една точка. Стандартното означение на ординатата е y. В координатна система оста, по която се измерва ординатата, се нарича ординатната ос и се означава с  .
  • Апликата – третата координата на една точка. Стандартното означение на апликатата е z. В координатна система оста, по която се измерва апликатата, се нарича респективно апликатна ос и се означава със  .

В зависимост от взаимното положение на положителните посоки на осите, координатните системи могат да бъдат десни или леви.

Аналитично представянеРедактиране

От гледна точка на аналитичната геометрия декартовата координатна система може да се разглежда като множеството от произволна точка O и базис от n взаимно перпендикулярни единични вектора ( ) с начало в O, където n е размерността на пространството на координатната система. Точката O е началото на координатната система, а правите   са нейни координатни оси.

Така радиус-векторът   на произволна точка M от пространството на системата може да бъде представен като линейна комбинация на векторите  :

 

Това равенство задава взаимно еднозначно съответствие на множеството от точките M върху множеството на наредените n-орки  . Още се казва, че M има координати   спрямо системата   и се бележи с  .

Координатите   са алгебрични проекции на вектора   върху координатните оси, измерени със съответния с координатен вектор  .

Обобщена афинна координатна системаРедактиране

 
Разликата между произволна афинна и декартова координатна система

Декартовата координатна система е частен случай на афинна координатна система – тя използва базис, който е ортонормиран – съставен е от взаимно перпендикулярни единични вектори. Множеството от всички точки в пространството може да бъде описано и като линейна комбинация на вектори, които не са единични и не са взаимно перпендикулярни – достатъчно условие е те да бъдат линейно независими. Афинните координатни системи използват такъв произволен базис.

Други координатни системиРедактиране

Полярна координатна системаРедактиране

 
Полярна координатна система

Друга често използвана координатна система, използвана само в равнинно двуизмерно пространство, е поларната координатна система.[6] Редица криви могат да се опишат много по-лесно чрез полярни, отколкото чрез декартови координати.

Полярната координатна система включва точка в равнината (наричана начало или полюс на кооридантната система) и лъч (наричан полярна ос). В полярна координатна система с полюс O и полярна ос   на всяка точка M в равнината се съпоставят взаимно еднозначно полярните координати (r, Θ) по следния начин:

  • полярната координата r на M е равна на разстоянието между точките M и О
  • полярната координата Θ на M е ъгълът, между полярната ос   и лъча  

Ъгловата координата Θ обикновено се измерва в радиани, а по традиция посоката на въртене от полярната ос към точката M, съответстваща на положителни стойности на ъгъла, е обратната на часовниковата стрелка. Полюсът на координатната система O има координати (0, Θ) за произволна стойност на Θ.

Формулите, които показват връзката между полярни и декартови координати, са следните:

  •  
  •  
  •  
  •   (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката).

Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса O и когато положителната посока на оста x съвпадне с положителната посока на лъча o.

В конкретни задачи полярните координати са използвани в неявен вид от Албрехт Дюрер (1525), Исак Нютон и Якоб Бернули (1691). Първи Леонард Ойлер през 1748 година стига до идеята, че положението на точка в равнината може да се определи само чрез ъгъл и разстояние. Във втората част на неговия труд „Analysis infinitorum“ се появяват формулите за преобразуване на полярни в декартови координати. Самите термини „полюс“ и „полярни координати“ навлизат едва през XIX век с работите на Гаспар Монж и школата му. Полярният ъгъл Θ така и не получава устойчиво название: наричан е „аномалия“, „амплитуда“, „азимут“ и дори „аргумент“.

Сферични координатиРедактиране

 
Сферични координати

Сферичните координати са пространствени полярни координати. Те са един от видовете тримерни пространствени координати.

Дефиниция 1, математическа: Нека в пространството е отбелязана точка О, която използваме за полюс (начало на полярна координатна система). Чрез два перпендикулярни лъча e1 и e2, минаващи през т. О, се задават съответно нулева и северна посока на системата. Установява се и положителна посока на въртене по отношение на лъча e2, наричан още полярна ос. Равнината, определена от двата лъча, се нарича първична меридианна равнина. Равнината, която минава през лъча e1 и е перпендикулярна на лъча e2, се дефинира като екваториална равнина.

Нека в така дефинираното пространство е отбелязана втора точка M (≠ О). Тогава нейните сферични координати (r, Θ, φ) се определят по следния начин:

  • сферичната координата r на M е равна на разстоянието от т. M до т. О.
  • сферичната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъча e1 и проекцията OM* на лъча OM върху екваториалната равнина. Ъгъл Θ още се нарича географска дължина. Дефиниционната област на Θ е [-π; π].
  • сферичната координата φ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъчите e2 и OM в определената от тях меридианна равнина. Ъгъл φ още се нарича географска ширина. Дефиниционната област на φ е [-π/2; π/2].

Съответствието между точките в пространството и сферичните им координати е винаги еднозначно и обратимо освен в следните случаи:

  • географската дължина не е определена за точки, лежащи върху оста e1,
  • в полюса О не е определена и географската ширина.

Дефиниция 2, практическа: В разглеждана подходящо ориентирана (например хоризонтално) равнина се избират точка (полюс) и вектор, лежащ в тази равнина, с начало полюса. Избира се положителна посока на въртене в равнината спрямо вектора. Едната страна на равнината се приема за положителна (северна). Координатите на всяка точка в така полученото пространство се определят чрез 1) дължината на отсечката между полюса и точката, 2) ъгъла между проекцията на отсечката в хоризонталната равнина и вектора и 3) ъгъла между тази отсечка и нейната проекция върху равнината.

За практически използваните системи освен горните, принципно необходими неща се уговарят и мерните единици за разстояние и ъгъл, както и спецификата им на отчитане. Така се получават астрономическа, геодезическа и две леко различаващи се – немска и руска артилерийски координатни системи, все варианти на сферичната координатната система. Линейната координата (важи поне за артилерийските) се нарича разстояние, ъгълът, мерен по равнината – азимут, а този спрямо на нея – ъгъл на възвишение.

Географските координати също са вариант на сферичните координати. Полюсът е в центъра на Земята, екваториалната равнина е през екватора, нулевата посока в тази равнина минава през Гринуич. Ъглите се мерят в градуси, минути и секунди в двете посоки, като плюсът и минусът имат словесни наименования – източна и западна дължина, северна и южна ширина. Разстоянието се мери в метри, но не от центъра на Земята, а от морското равнище, като знаците пак имат словесни наименования – надморска височина и дълбочина.

 
Сферични координати

Трансформационните формули, които показват връзката между полярни и декартови координати, са следните:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
  •  

Тези формули са валидни, когато началото на дясна декартова координатна система Oxyz съвпадне с полюса O и когато положителните посоки на осите x и z съвпадат с посоките на лъчите e1 и e2, съответно.

Независимо че сферичните координати са се ползвали в астрономията на древността, първите опити да се дефинира крива върху сфера с уравнение между сферичните им координати е от XVIII в. Трансформационните формули, които изразяват декартовите чрез сферичните, са дадени от Лагранж през 1773 г. Обратните трансформационни формули са изведени от Феликс Клайн през 1881 г.

Цилиндрични координатиРедактиране

 
Цилиндрични координати

Цилиндричните координати са обобщение на полярните координати в случая на тримерно пространство.

Нека в равнина е въведена полярна координатна система с полюс т. О и нулев лъч o и ортогонално на равнината е построен втори лъч ν. Тогава в така получената цилиндрична координатна система произволна т. М в пространството има цилиндрични координати (r, Θ, h), дефинирани по следния начин:

  • цилиндричната координата r на M е равна на разстоянието от т. О до проекцията на т. M в равнината (радиус на цилиндъра).
  • цилиндричната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъча o и проекцията на M върху равнината. Дефиниционната област на Θ е [-π; π].
  • цилиндричната координата h на M е равна на дължината на проекцията от точка M към равнината.

Този вид координати са наречени цилиндрични, понеже r играе ролята на радиус на цилиндър, а h – на неговата височина. Цилиндричните се различават от сферичните координати в това, че те се състоят от два скалара и един ъгъл, а сферичните – от един скалар и два ъгъла.

Формулите за трансформация на цилиндрични координати към декартови и обратно са следните:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
  •  

Те са в сила, когато за начало на декартовата координатна система е избран полюсът O на цилиндричната, а лъчите x и z от декартовата съвпадат съответно с o и ν от цилиндричната.

ИсторияРедактиране

Потребността от използване на координати се появява под различни форми в географията, астрономията и математиката още във Вавилония и Древна Гърция. Познатите ни днес термини за координатните оси обаче започват да се използват със съвременното си значение едва през XVII в.

През XIV в. френският математик Никола Орем е строил графики, използвайки равнинни координати, които наричал „дължина“ и „широчина“ в смисъла на абсциса и ордината.

Терминът абсциса (abscissa) се употребявал широко в латинските преводи от гръцки на математически трудове. Смисълът, който обаче е бил влаган в термина, било „отсечка“. Тази практика се запазва за последно в трудовете на Бонавентура Кавалиери от 1635 г. През 1675 г. Готфрид Лайбниц налага новия прочит на термина абсциса като първа ос на координатната система.

Аполоний (ок. 260 – 170 г. пр.н.е.) нарича успоредните хорди в окръжността „линии прекарани поред“, като превежда словосъчетанието от гръцки на латински като „ordinatum applicata“. Оттук произхождат термините ордината и апликата, като впоследствие изразът се разпада и двете понятия започват да се употребяват самостоятелно в контекста на сечения на кръга.

Думата ордината в съвременния ѝ смисъл като втора координата на точка е използвана за първи път от Лайбниц (1694 г.). Приблизително по това време той въвежда и самия термин координата, като по този начин подчертава равноправието на абсцисата и ординатата.

Малко популярната дума апликата означава третата координатна ос, когато координатната система е пространствена.

БележкиРедактиране

Цитирани източници
  • Finney, Ross et al. Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. Single Variable Version. Addison-Wesley Publishing Co., June 1994. ISBN 0-201-55478-X. (на английски)
  • Moon, P et al. Rectangular Coordinates (x, y, z). // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions. corrected 2nd, 3rd print. New York, Springer-Verlag, 1988. ISBN 978-0-387-18430-2. (на английски)
  • Stewart, James B. et al. College Algebra. 5th. Brooks Cole, 2008. ISBN 0-495-56521-0. (на английски)
  • Weisstein, Eric W. Coordinate System. // MathWorld. Wolfram Research, 2020a. Посетен на 2020-09-19. (на английски)
  • Weisstein, Eric W. Coordinates. // MathWorld. Wolfram Research, 2020b. Посетен на 2020-09-19. (на английски)
  • Woods, Frederick S. Higher Geometry. Ginn and Co., 1922. (на английски)

Вижте същоРедактиране