Олоид
Олоидът е триизмерно геометрично тяло, открито и патентовано от германския скулптор, математик и изобретател Паул Шац през 1929 година. Представлява минималната изпъкнала обвивка на две еднакви окръжности, поставени една спрямо друга в две перпендикулярни равнини и споделящи точно един общ радиус. По този начин, центърът на всяка от двете окръжности лежи върху другата окръжност и разстоянието между двата центъра е точно дължината на радиуса им. Освен това, една трета от всяка от окръжностите принадлежи на вътрешността на олоида, докато останалите две трети от двете окръжности формират ръбовете му.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Oloid_structure.svg/300px-Oloid_structure.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Oloid_development.svg/240px-Oloid_development.svg.png)
Лице на повърхнината и обем
редактиранеЛицето на повърхнината на олоид се дава по формулата:[1]
което е точно колкото лицето на повърхнината на сфера със същия радиус. Ограденият от повърхнината на олоида обем се равнява на [1][2]
- ,
където K и E означават пълните елиптични интеграли от първи и втори род, съответно. С числено смятане се получава:
Кинетика
редактиранеПовърхнината на олоида е развиваема повърхнина. Докато се търкаля, тялото прави разгъвка на пълната си повърхнина, т.е. всяка точка от олоида в някакъв момент от време докосва равнината, върху която той се търкаля.[1] За разлика от повечето осево симетрични тела (като цилиндъра, сферата и др.), при търкаляне върху равнина, центърът на тежестта на олоида извършва движение по лъкатушеща, вместо по права линия. На всеки цикъл на търкаляне разстоянието между центъра на тежестта на олоида и равнината варира между два минимума и два максимума. Разликата между минимум и максимум се изчислява по формулата:
където r е радиусът на дефиниращите олоида перпендикулярни окръжности. Тъй като така изчислената разлика е сравнително малка, движението на олоида при търкаляне е сравнително гладко.
На всяка точка от търкалянето си олоидът докосва равнината с една своя отсечка (линеен сегмент) от повърхността. Дължината на тази отсечка е постоянна по време на цялото движение, и се задава чрез:[1][3]
Свързани форми
редактиранеСферикон е минималната изпъкнала обвивка на две полуокръжности с общ център, разположени една спрямо друга в перпендикулярни равнини. Повърхнината на сферикона се състои от части на четири еднакви конуса (чиято височина е равна на радиуса на основата). Сфериконът прилича на олоида и – също като него – при търкаляне се явява развиваема повърхнина. „Екваторът“ му е квадрат с четири върха – за разлика от олоида, който има два ръба, но не и върхове.
Източници
редактиране- ↑ а б в г Dirnböck, Hans, Stachel, Hellmuth. The development of the oloid. Journal for Geometry and Graphics. Т. 1. 1997. с. 105–118..
- ↑ OEIS A215447, OEIS A215447
- ↑ Motion of the Oloid-toy // Proc. 7th European Nonlinear Dynamics Conference, 24–29 юли 2011, Rome, Italy. 2011. Архив на оригинала от 2013-12-28 в Wayback Machine..