Квадрат

Тази статия е за четириъгълника. За повдигането на квадрат вижте степенуване (математика). За римския политик вижте Квинт Корнелий Квадрат.

---

Квадратът (от латински: quadrātum – „четириъгълник“) представлява равнинна геометрична фигура, правилен четириъгълник. Има четири равни страни и четири равни ъгли.

Определение

Квадратът е правилен многоъгълник с четири страни и ъгли, но може да се дефинира и посредством други геометрични фигури като:

• четириъгълник, успоредник или трапец с равни страни и равни/прави ъгли;
• правоъгълник с равни страни;
• ромб с перпендикулярни страни.

Свойства

Квадрат с дължина на страната $a$ и диагонал $d$

За квадрата са валидни следните твърдения:

• Четирите му страни са равни.
• Четирите вътрешни ъгли са еднакви и сборът им е 360° (2π), затова всичките са прави (по 90°).
• Има четири оси на симетрия – двата диагонала и двете симетрали на страните.
• Има център на симетрия – пресечната точка на диагоналите.
• Двата диагонала са равни, разполовяват се и са взаимно перпендикулярни.
• Диагоналите разполовяват ъглите на квадрата.
• Пресечната точка на диагоналите му е център на вписаната и на описаната окръжност.
• Всеки квадрат е подобен на всеки друг квадрат.
• Квадратът е правилен четириъгълник с централен ъгъл π /2 и $a=R{\sqrt {2}}$, където R е радиусът на описаната около квадрата окръжност.

За да начертаем квадрат, е достатъчно да знаем дължината на страната му или дължината на диагонала му.

Формули

Формули за квадрат
Дължина на страната	$a$
Дължина на диагонала	$d=a{\sqrt {2}}$
Периметър	$P=4\,a$
Лице	$S=a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$ $S=4\,r^{2}=2\,R^{2}$
Радиус на описаната окръжност	$R={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}$
Радиус на вписаната окръжност	$r={\frac {a}{2}}$

Построение

Тъй като 4 е степен на 2, квадрат може да бъде построен с линийка и пергел:

Квадратът в неевклидовата геометрия

Шест квадрата покриват сфера, като във всеки връх се допират точно три квадрата с вътрешни ъгли от по 120°. Това се нарича сферичен куб.

Евклидовата равнина може да бъде покрита с квадрати, като във всеки връх се допират точно четири квадрата с вътрешни ъгли по 90°. (Вижте Квадратно пано)

Квадрати покриват хиперболичната сфера, като във всеки връх се допират точно пет квадрата с вътрешни ъгли по 72°. (Вижте Петоредово квадратно пано)

В неевклидовата геометрия квадратите са по-общи многоъгълници с четири равни страни и равни ъгли.

В сферичната геометрия квадратът е многоъгълник, чиито ръбове са дъги от големи окръжности на равни разстояния, които се пресичат в равните ъгли. За разлика от квадрата в равнинната геометрия ъглите на сферичния квадрат са по-големи от правия ъгъл.

В хиперболичната геометрия не съществуват квадрати с прави ъгли. Там квадратите имат остри ъгли.

Вижте също

• Четириъгълник
• Успоредник
• Правоъгълник
• Ромб
• Трапец