Конус

В геометрията конусът се дефинира като геометрично тяло, заградено от конична повърхнина и едно равнинно сечение.

Коничната повърхнина е повърхнина, която се описва от права, минаваща през фиксирана точка P и хлъзгаща се по крива ω (несъдържаща фиксираната точка), наречена управителна (директорна) крива. Правите, които минават през точка P и точките на управителната крива, се наричат образуващи на коничната повърхнина. Управителната крива не трябва да бъде изродена крива – например точка. Фиксираната точка P се нарича връх на коничната повърхнина. Ако ω е равнинна крива, върхът не бива да лежи в нейната равнина.

Конус е тялото, ограничено от равнина и конична повърхнина, определена от проста затворена управителна крива. Повърхнината му се състои от равнинна основа и конична околна повърхнина, която е част от коничната повърхнина. Лежащите върху околната повърхнина отсечки от нейните образуващи се наричат образуващи на конуса. Разстоянието от върха на конуса до основата се нарича височина на конуса.

Конично тяло е геометрично тяло, образувано от едносвързана област в дадена равнина (основа (геометрия)) и отсечките, свързващи основата с точка извън нейната равнина (връх). То е обобщение на пирамидата за немногоъгълни основи. Правите кръгови конуси също са конични тела.

Обемът на всяко конично тяло е една трета от площта на основата, умножена по височината (перпендикулярното разстояние от върха до равнината на основата). Центърът на тежестта на конично тяло се намира на 1/4 от височината, измервано от основата. Няма общо правило за изчисляване на повърхността на конично тяло.

Видове конуси

Прав кръгов конус

Конус, чиято управителна крива е окръжност, се нарича кръгов конус.

Правата, минаваща през върха на конуса и центъра на окръжността, се нарича ос на конуса. Сечението на кръгов конус с равнина през оста му се нарича осно сечение.

Кръгов конус, чиято ос е перпендикулярна на основата, се нарича прав кръгов конус. Правият кръгов конус се нарича също ротационен конус, тъй като може да се получи чрез завъртане в пространството на една права (образувателната) около друга, пресичаща я права (оста). Правият кръгов конус може да се получи и при завъртането на правоъгълен триъгълник около един от катетите му.

Кръгов конус, чиято ос не е перпендикулярна на основата, се нарича наклонен.

Повърхнина и обем на прав кръгов конус

Разглеждаме прав кръгов конус с радиус на основата r, височина h и образуваща l.

Лице на околната повърхнина на прав кръгов конус се нарича границата на редицата от лицата на околните повърхнини на вписаните в него (или описаните около него) правилни пирамиди при неограничено удвояване броя на околните им стени.

След съответните математически пресмятания и граничен преход се стига до формулите за лице на околна и пълна повърхнина:

S = π r l,

S_{1= S+B}

S_1=π.r.(l+r)

Обем на прав кръгов конус се нарича границата на редицата от обемите на вписаните в (или описаните около) конуса правилни пирамиди при неограничено удвояване на броя на околните им стени.

Той се дава с формулата

V = 1/3 π r² h.

Успоредно сечение на кръгов конус

Сечение на кръгов конус с равнина, успоредна на равнината на основата му, се нарича успоредно сечение на конуса.

Важна е следната теорема: Лицето на успоредно сечение се отнася към лицето на основата като квадратът от разстоянието от това сечение до върха на конуса към квадрата от неговата височина.

Всички успоредни сечения на кръгов конус са кръгове.

Пресечен кръгов конус

Пресечен кръгов конус се нарича тяло, което е част от кръгов конус, заключена между основата му и едно негово успоредно сечение (наричано също основа).

Отсечката от образуващата на конуса, заключена между двете основи, се нарича образуваща на пресечения конус. Разстоянието между двете основи се нарича височина на пресечения конус. Частта от околната повърхнина на дадения кръгов конус, ограничена от двете основи на пресечения конус, се нарича околна повърхнина на пресечения конус. Обединението от околната повърхнина и лицата на двете основи се нарича повърхнина (или пълна повърхнина) на пресечения конус.

Формулите за повърхнината и обема на пресечен кръгов конус са съответно:

S = π (r + r₁) l, S₁ = π (r + r₁) l + π r ² + π {r₁}².

V = 1/3 π h (r² + {r₁}² + r r₁).

Вижте също

• Конично сечение
• Пирамида
• Цилиндър

Литература

• Георги Каменаров, Справочник Висша математика, Техника, София, 1994, ISBN 954-03-0352-4, стр. 154 – 155
• доц. кпн Д. Серафимов, Н. Николов, Г. Коларов, Справочник четиризначни математически таблици и формули, Регалия 6, София, 1994, стр. 126 – 127
• доц. Георги Петров, Дескриптивна геометрия, ДИ Техника, София 1971, стр.197
• Станчо Димитров, Сборник задачи по Дескриптивна геометрия, Техника, София, 1969, стр.38 – 39