Вълново уравнение

Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни процеси в твърди среди и електромагнетизъм. Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика.

Импулс, пътуващ през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.
Сферични вълни, произлизащи от точков източник.
Решение на двуизмерното вълново уравнение.

През 1746 г. д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.[1]

Видове уравненияРедактиране

В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:

 ,

където   е оператор на Лаплас,   е неизвестната функция,   е времето,   е пространствената променлива, а   е фазовата скорост.

В едномерния случай уравнението се записва във вида:

 .

Оператор на д'АламберРедактиране

Разликата   се нарича оператор на д'Аламбер и се обозначава като   (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на д'Аламбер (д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:

 

Нееднородно уравнениеРедактиране

Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:

 ,

където   е дадена функция на външно въздействие (сила).

Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).

Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:

  или  .

Решение на вълновото уравненияРедактиране

Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна ( ) – формула на д'Аламбер, за колебания на мембрана ( ) – формула на Поасон.

Формула на д'АламберРедактиране

Решение на едномерно вълново уравнение (тук   е фазовата скорост):

  (функцията   съответства на външна сила)

с начални условия

 

има вида

 

Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача

 ,

имащо следния вид

 

може да бъде представено и така

 

където

 
 

В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите   и   са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.

В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.

Методи за решение в ограничена едномерна областРедактиране

Метод на отражениеРедактиране

Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка  

 

с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)

 

и начални условия

 

В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:

 
 

При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:

 

се използват същите съображение и функцията   се продължава по такъв начин.

Метод на ФуриеРедактиране

Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка  

 

с еднородни гранични условия от първи род

 

и начални условия

 

Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида

 , където и двете функции зависят само от една променлива.

Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.

Лесно е да се докаже, че за да може функцията   да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията

 
 
 

Решението на задачата на Щурм при   води до резултат:

 

и техните собствени стойности  

Съответстващите им функции   изглеждат като

 

По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача

 

Разлагайки функцията   в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите  , при които решението ще приеме такива начални условия.

ИзточнициРедактиране

  1. Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600 – 1800, с. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).