Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни процеси в твърди среди и електромагнетизъм. Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика.
Импулс, пътуващ през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.
Сферични вълни, произлизащи от точков източник.
Решение на двуизмерното вълново уравнение.
През 1746 г. Д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.[1]
Разликата се нарича оператор на Д'Аламбер и се обозначава като (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на Д'Аламбер (Д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:
Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:
Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна () – формула на Д'Аламбер, за колебания на мембрана () – формула на Поасон.
Решение на едномерно вълново уравнение (тук е фазовата скорост):
(функцията съответства на външна сила)
с начални условия
има вида
Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача
,
имащо следния вид
може да бъде представено и така
където
В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите и са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.
В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.
Методи за решение в ограничена едномерна областРедактиране
Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка
с еднородни гранични условия от първи род
и начални условия
Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида
, където и двете функции зависят само от една променлива.
Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.
Лесно е да се докаже, че за да може функцията да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията