Вълново уравнение

Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни процеси в твърди среди и електромагнетизъм. Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика.

Импулс, пътуващ през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.

Сферични вълни, произлизащи от точков източник.

Решение на двуизмерното вълново уравнение.

През 1746 г. д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.

Видове уравнения

В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:

$\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$,

където $\Delta$ е оператор на Лаплас, $u=u(x,t)$ е неизвестната функция, $t\in \mathbb {R}$ е времето, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ е пространствената променлива, а $v$ е фазовата скорост.

В едномерния случай уравнението се записва във вида:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$.

Оператор на д'Аламбер

Разликата $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ се нарича оператор на д'Аламбер и се обозначава като $\square$ (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на д'Аламбер (д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:

$\square u=0$

Нееднородно уравнение

Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f$,

където $f=f(x,t)$ е дадена функция на външно въздействие (сила).

Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).

Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:

$u(x,t)=v(x)e^{i\omega t}\$ или $u(x,t)=v(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\$.

Решение на вълновото уравнения

Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна ($\mathbb {R} ^{1}$) – формула на д'Аламбер, за колебания на мембрана ($\mathbb {R} ^{2}$) – формула на Поасон.

Формула на д'Аламбер

Решение на едномерно вълново уравнение (тук $v=a$ е фазовата скорост):

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad$ (функцията $f(x,t)$ съответства на външна сила)

с начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

има вида

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau$

Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$,

имащо следния вид

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }$

може да бъде представено и така

$u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)$

където

$f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha }$

$f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }$

В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.

В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.

Методи за решение в ограничена едномерна област

Метод на отражение

Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,a]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)

$u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]$

В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:

$\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

$\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)$

се използват същите съображение и функцията $f(x,t)$ се продължава по такъв начин.

Метод на Фурие

Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,l]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род

$u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]$

Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида

$X(x)T(t)$, където и двете функции зависят само от една променлива.

Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.

Лесно е да се докаже, че за да може функцията $u(x,t)=X(x)T(t)$ да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията

$X(0)=0\qquad X(l)=0$

$a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)$

$T''(t)=-\lambda T(t)$

Решението на задачата на Щурм при $X(x)$ води до резултат:

$X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N}$

и техните собствени стойности $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Съответстващите им функции $T$ изглеждат като

$T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta \cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).$

По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.$

Разлагайки функцията $\varphi (x),\psi (x)$ в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите $\alpha _{n},\beta _{n}$, при които решението ще приеме такива начални условия.