Индекс на Милър
Кристалографският индекс на Милър е система за означаване на разположението на кристалните плоскости в пространството. Всяка кристална форма се състои от симетрично разположени еквивалентни стени, съответстващи на атомни мрежи в триизмерната пространствена решетка, която от своя страна се определя най-общо чрез елементарна клетка с ребра и междуребрени ъгли. Индексът на Милър представлява група от цифри, определящи разположението на атомните плоскости и еквивалентните стени в кристалната решетка по отношение на избрана координатна система, която не винаги е декартова. В частност положението на плоскостите на кристалната решетка се определят от три цели числа, приети условно като h, k и l, затворени в кръгли скоби (hkl) и наречени индекс на Милър – например (001) (110) (102). Ориентацията на тези плоскости може да бъде определена чрез координатите на точките, в които те се пресичат с основните кристалографски оси на твърдото тяло.[1][2]
- Записани в кръгли скоби (hkl) означават индекс на Милър за единична плоскост от кристалната решетка.
- Записани в големи скоби {hkl} означават индекс на Милър за съвкупността от всички равностойни плоскости на кристалната решетка, успоредни една на друга, т.е. изразява простата кристалографска форма.
- Записани в квадратни скоби [hkl] характеризират направлението на ребрата, съответстващи на атомните редици в кристалната структура. Изразяват посоката на вектора на тези ребра и са изчислени на базата на обикновени, а не реципрочни стойности. Трите числа, затворени в квадратни скоби се наричат индекс (параметри) на Вайс.[3][4] Квадратни скоби се използват още и при обозначаване на ръбовете на кристалните форми.[2][5]
Когато кристалната решетка се характеризира с четирираменен осен кръст (при тригонална и хексагонална сингония, моноклинни и триклинни кристали), индексът на Милър се изразява с четири цифри, затворени в кръгли скоби – съответно за стена и проста кристалографска форма, например (0001).[6] При тях първите три оси не са самостоятелни, а взаимно свързани, а оттук това се отнася и до първите три цифри в индекса.[3]
Индексът на Милър е въведен през 1839 г. от британския минералог и кристалограф Уилям Халоус Милър.[7]
Определяне на индекса на Милър
редактиранеПри изчисляване индекса на Милър за една кристална решетка се извършват следните стъпки:
- Намират се точките на пресичане на плоскостта на кристалната решетка с осите X, Y и Z от координатната система.
- Взимат се реципрочните стойности на координатите на тези точки.
- Преработват се до начин, удобен за ползване, като вместо тях за стойности на индекса се приемат най-малките цели числа, отговарящи на математическите отношения между тези реципрочни стойности.[8]
Съществуват няколко варианта на пресичане на осите на координатната система от плоскостите на кристалната решетка.[6]
- Пресичане само на една от осите
- Пресичане на две от осите. Стени, които са успоредни на една от кристалографските оси се обозначават като призматични стени.
- Пресичане и на трите оси. Стените, които пресичат и трите кристалографски оси се наричат пирамидални стени.
- Пресичане на равни разстояния от началото на координатната система
- Пресичане на различни разстояния от началото на координатната система.[5]
Индекс на Милър при кубична кристална решетка
редактиранеПлоскости на кристалната решетка, успоредни на осите Y и Z[6]
Най-простият вариант се получава, когато се разгледа кубична кристална решетка, на която една от плоскостите е успоредна на осите Y и Z. В такъв случай тя пресича оста X в точка A, а останалите две оси Y и Z – в безкрайността, тъй като плоскостта е успоредна на техните направления. Следователно пресичането на плоскостта на кристала с координатните оси става в точките A, и . Винаги има кристална плоскост, успоредна на разглежданата, която пресича оста X в точка на разстояние 1 от началото на координатната система. Индексът на Милър се получава като се вземат реципрочните стойности на това пресичане, т.е.
Пресичане на плоскостта – : : . Тъй като , а
- за индекса на Милър се получава (1,0,0) и се записва като (100) в кръгли скоби.
Плоскости на кристалната решетка, успоредни на осите X и Y.[6]
Когато плоскостта на кристалната решетка е успоредна на направленията на осите X и Y, то тя пресича оста Z в точка на разстояние 1 от началото на координатната система, а осите X и Y – в безкрайността. Следователно пресичането на плоскостта на кристала с координатните оси става в точките , A и . Аналогично на горния пример, отношението между реципрочните стойности на това пресичане са:
: : . И тъй като , а , а самото пресичане става в точките (0,0,1)
- за индекса на Милър се получава (001).
Плоскости на кристалната решетка, успоредни на осите X и Z.[6]
Ако плоскостта на кристалната решетка е успоредна на направленията на осите X и Z, тя ги пресича в безкрайността, а оста Y – в точка на разстояние 1 от началото на координатната система. Тогава, аналогично на горните два примера, индексът на Милър се получава (010)
Плоскости на кристалната решетка, успоредни само на една от осите.[6]
Когато плоскостта на кристалната решетка е успоредна на оста Z и пресича осите Х и Y на равни разстояния, винаги ще има плоскост, при която тези равни разстояния са единица. В този случай пресичането на осите става в точки с координати по Х – (1,0,0), по Y – (0,1,0) и по Z – в , то техните реципрочни стойности стават
- , , . Тяхното отношение става : :
В такъв случай индексът на Милър се изразява с цифрите (110), затворени в кръгли скоби.
Аналогично, ако плоскостта на кристалната решетка пресича на равни разстояния осите Х и Z и е успоредна на оста Y, за индекс на Милър се получава (101). А ако пресича на равни разстояния осите Y и Z и е успоредна на оста Х, индексът на Милър се изразява с цифрите (011)
Плоскости, пресичащи на равни разстояния и трите оси.[6]
Възможно е плоскостта на кристалната решетка, или успоредна на нея, да пресича едновременно и трите координатни оси и то на равни разстояния от началото на координатната система. Тогава точката на пресичане по оста Х има координати (1,0,0), по Y – (0,1,0) и по Z – (0,0,1). В този случай, базирайки се на казаното дотук, индексът на Милър се получава (111).
Повърхностите с индекси (001), (010), (100), (011), (101), (011) и (111) се наричат повърхности с нисък индекс при кубичната кристална система. Такива са всички кристални плоскости, при които индексът на Милър съдържа само единици и нули.
Плоскости, пресичащи на различни разстояния и трите оси.[4]
В най-общия случай плоскостта на кристалната решетка пресича и трите оси на координатната система на различни разстояния. В случая координатите на пресечните точки са: по оста Х – (1,0,0), по оста Y – (0,2,0) и по оста Z – (0,0,3) Тъй като индексът на Милър се получава от реципрочните стойности на координатите на тези точки, то за конкретния случай, илюстриран на схемата вляво, бихме получили
: : След привеждане под общ знаменател се получава : :
Най-малките цели числа, които имат същото отношение помежду си са 6:3:2, определят и индекса на Милър за съответната кристална плоскост на (632).
Когато индексите на дадена кристална форма са представени с числа по-големи от 9, те се отделят с точки, например (8.12.2).[5]
Плоскости, пресичащи осите на разстояния, по-малки от 1.[6]
Има случаи, когато кристалната плоскост пресича координатните оси на разстояние по-малко от единица. Например при плоскост, която пресича оста Х на разстояние 2/3 от началото на координатната система, пресича Y на разстояние 1, а оста Z на разстояние 1/3. В този случай реципрочните стойности са:
: : След привеждане под общ знаменател се получава : :
Най-малките цели числа, които имат същото отношение помежду си са 3:2:6 и определят индекса на Милър за съответната кристална плоскост на (326).[6]
Поради симетрията на кубичните кристали индексът на Милър за някои плоскости съдържа кратни едно на друго числа. В тези случаи той може да бъде опростен чрез обикновено съкращаване на числата. Например индексите (200) и (100) са идентични, тъй като се отнасят за успоредни една на друга плоскости.[4]
Плоскости, пресичащи осите в областта на отрицателни стойности на координатната система.[4]
Когато кристалните плоскости пресичат една или няколко оси от координатната система в отрицателната им част, съответните цифри от индекса на Милър също получават отрицателни стойности. В илюстрирания на схемата вляво случай отрицателна стойност (-1) имаме по оста Y, а по осите Х и Z стойностите са (+1). В този случай в индекса на Милър трябва да се запишат числата (1,-1,1) и той придобива следния вид: (111), като минусът се записва вместо пред, над съответната цифра.
В примера на дясната схема кристалната плоскост пресича оста X в отрицателната ѝ част. При нея за индекс на Милър се получава (111).
Индекс на Милър при хексагонални и ромбоедрични структури[9]
редактиранеЗа удобство при кристали с хексагонална и тригонална сингония към триосната координационна система се добавя четвърта координатна ос, маркирана обикновено с u, която сключва равни ъгли от 120° (2π/3) с осите x и y и е перпендикулярна на хексагоналната ос z. Осите x, y и u лежат върху повърхнината на шестоъгълната основа, а оста z е перпендикулярна на всяка една от тях. По координатната ос x за индекса на Милър се отчита стойността h, по y – стойността k, по u – стойността i и по z – стойността l. В тази четириосна система (x,y,z,u) всяка стена от елементарната кристална клетка пресича координатните оси, отсичайки от тях различни части. На базата на тази система в индекса на Милър се въвеждат вместо три, четири цифри и той придобива следния вид – (h k i l) като сборът от първите две цифри трябва да е равен на отрицателната стойност на третата цифра:
или
При този случай h, k и l са обикновените индекси на Милър, а i е като допълнителен индекс.[5]
Равнината на дадената схема пресича оста x в точка P на разстояние , оста y – в точка Q също на разстояние , оста u в точка S на разстояние —- и оста z в точка R на разстояние . Стойностите на тези координати са:
: : —- : , а техните реципрочни стойности се получават : : —- : . Следователно индексът на Милър за дадената на схемата плоскост е (1122).
Източници
редактиране- ↑ Словарь металлургических терминовр Индексы Миллера/Санкт-Петербург, 2003
- ↑ а б Иван Костов – „Минералогия“. изд. „Техника“. София. 1993. ISBN 954-03-0112-2. стр. 38.
- ↑ а б Crystal Planes in Semiconductors, архив на оригинала от 19 юли 2011, https://web.archive.org/web/20110719154901/http://cleanroom.byu.edu/EW_orientation.phtml, посетен на 19 май 2011
- ↑ а б в г Физическая энциклопедия, Индексы кристаллографические
- ↑ а б в г Руслан Костов. Основи на минералогията. изд. Pensoft. 2000 г. ISBN 954-642-091-3. стр. 21.
- ↑ а б в г д е ж з и Miller Indices (hkl) // Архивиран от оригинала на 2011-06-14. Посетен на 2011-05-19.
- ↑ Encyclopaedia Britannica – William Hallowes Miller
- ↑ Энциклопедический словарь нанотехнологий, Индексы Миллера
- ↑ Кристаллографические индексы