Отваря главното меню

Координата (от лат. co + ordinatus, „нареден“, „определен“) – реално число или числа, с чиято помощ се определя положението на точка върху права, в равнината или в пространството. Понятието се обобщава както за случая на многомерни пространства, така и за определяне на положенията на обекти, различни от точки.

ОпределенияРедактиране

 
Абсциса, ордината и апликата. Абсцисна, ординатна и апликатна ос

Координата е обобщаващ термин за тези числа, с които се описва местоположението на точката, а именно: разстояние, абсциса, ордината, апликата, азимут, (ъгъл на) възвишение. Координатите може да са ъглови или линейни.

РазстояниеРедактиране

В най-простия едномерен случай – например един плъзгач, извършващ праволинейно движение, за описване на положението му е достатъчна една линейна координата: разстоянието, на което се намира точката от началото на координатната система. При сферичните координати разстоянието r е единствената координата с размерност дължина, докато двете ъглови координати Θ и φ служат да посочат посоката, в която се мери разстоянието.

АбсцисаРедактиране

Абсцисата е първата (правоъгълна или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на абсцисата е x. В координатна система оста, по която се измерва абсцисата, се нарича абсцисна ос и се означава с х.

ОрдинатаРедактиране

Ординатата е втората (правоъгълна, или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на ординатата е y. В координатна система оста, по която се измерва ординатата, се нарича ординатната ос и се означава с y.

АпликатаРедактиране

Апликатата е третата (правоъгълна или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на апликатата е z. В координатна система оста, по която се измерва апликатата, се нарича респективно апликатна ос и се означава със z. Апликата е слабо разпространено наименование, по-често се казва „по Z“

Видове координатиРедактиране

Афинни и декартови координатиРедактиране

 
Разликата между афинна и декартова координатна система

Нека в равнината е избрана произволна точка O, която служи за начало на два неколинеарни вектора e1 и e2. Така построената система наричаме афинна координатна система, а правите Oe1 и Oe2 – координатни оси. Тогава за всяка точка M от равнината на системата равенството OM = xe1 + ye2 задава взаимно еднозначно съответствие на множеството от точките M върху множеството на наредените двойки (x, y).

Още се казва, че M има афинни координати (x, y) спрямо системата Oe1e2 и се бележи с M(x, y).

Координатите x, y са алгебрични проекции на вектора OM върху координатните оси, измерени съответно с координатните вектори. Афинната координатна система Oe1e2 се означава още и с Oxy.

Дефиницията на афинна координатна система се обобщава лесно до тримерно и многомерни пространства.

Декартовата координатна система е частен случай на афинна координатна система, за която се изпълнени следните условия:

  • координатните оси Oe1 и Oe2 са взаимно перпендикулярни (т.е. системата е ортогонална, правоъгълна), и
  • координатните вектори имат равни дължини – единичната мярка в системата (т.е. системата е ортонормирана).

Декартовата (картезианската) координатна система е най-често използваната в обучението и практиката афинна координатна система. Исторически тя е и първата въведена – през XVII в. от френския математик и философ Рене Декарт.

Полярни координатиРедактиране

 
Полярни координати в равнината

Редица криви могат да се опишат много по-лесно чрез полярни, отколкото чрез декартови координати. Полярните координати обаче важат за точки в равнината. За точки в пространството се използват сферичните и цилиндричните координати.

Нека в равнината е отбелязана точка О, която използваме за полюс (начало на полярна координатна система). Чрез лъч ο, минаващ през т. О, се задава нулева посока на системата и установява положителната посока на въртене – традиционно това е посоката на въртене, която е обратна на часовниковата стрелка. Тогава на всяка точка M (≠ О) в равнината се съпоставят полярни координати (r,Θ) по следния начин:

  • полярната координата r на M е равна на разстоянието от т. M до т. О
  • полярната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, на който трябва да завъртим в положителна посока лъча ο, така че да съвпадне с лъча OM.

Формулите, които показват връзката между полярни и декартови координати, са следните:

  •  
  •  
  •  
  •   (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката).

Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса O и когато положителната посока на оста x съвпадне с положителната посока на лъча o.

В конкретни задачи полярните координати са използвани в неявен вид от Албрехт Дюрер (1525), Исак Нютон и Якоб Бернули (1891). Първи Леонард Ойлер през 1748 г. стига до идеята, че положението на точка в равнината може да се определи само чрез ъгъл и разстояние. Във втората част на неговия труд „Analysis infinitorum“ се появяват формулите за преобразуване на полярни в декартови координати. Самите термини „полюс“ и „полярни координати“ навлизат едва през XIX в. с работите на Гаспар Монж и школата му. Полярният ъгъл Θ така и не получава устойчиво название: наричан е „аномалия“, „амплитуда“, „азимут“ и дори „аргумент“.

Сферични координатиРедактиране

 
Сферични координати

Сферичните координати са пространствени полярни координати. Те са един от видовете тримерни пространствени координати.

Дефиниция 1, математическа: Нека в пространството е отбелязана точка О, която използваме за полюс (начало на полярна координатна система). Чрез два перпендикулярни лъча e1 и e2, минаващи през т. О, се задават съответно нулева и северна посока на системата. Установява се и положителна посока на въртене по отношение на лъча e2, наричан още полярна ос. Равнината, определена от двата лъча, се нарича първична меридианна равнина. Равнината, която минава през лъча e1 и е перпендикулярна на лъча e2, се дефинира като екваториална равнина.

Нека в така дефинираното пространство е отбелязана втора точка M (≠ О). Тогава нейните сферични координати (r, Θ, φ) се определят по следния начин:

  • сферичната координата r на M е равна на разстоянието от т. M до т. О.
  • сферичната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъча e1 и проекцията OM* на лъча OM върху екваториалната равнина. Ъгъл Θ още се нарича географска дължина. Дефиниционната област на Θ е [-π; π].
  • сферичната координата φ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъчите e2 и OM в определената от тях меридианна равнина. Ъгъл φ още се нарича географска ширина. Дефиниционната област на φ е [-π/2; π/2].

Съответствието между точките в пространството и сферичните им координати е винаги еднозначно и обратимо освен в следните случаи:

  • географската дължина не е определена за точки, лежащи върху оста e1,
  • в полюса О не е определена и географската ширина.

Дефиниция 2, практическа: В разглеждана подходящо ориентирана (например хоризонтално) равнина се избират точка (полюс) и вектор, лежащ в тази равнина, с начало полюса. Избира се положителна посока на въртене в равнината спрямо вектора. Едната страна на равнината се приема за положителна (северна). Координатите на всяка точка в така полученото пространство се определят чрез 1) дължината на отсечката между полюса и точката, 2) ъгъла между проекцията на отсечката в хоризонталната равнина и вектора и 3) ъгъла между тази отсечка и нейната проекция върху равнината.

За практически използуваните системи освен горните, принципно необходими неща се уговарят и мерните единици за разстояние и ъгъл, както и спецификата им на отчитане. Така се получават астрономическа, геодезическа и две леко различаващи се – немска и руска артилерийски координатни системи, все варианти на сферичната координатната система. Линейната координата (важи поне за артилерийските) се нарича разстояние, ъгълът, мерен по равнината – азимут, а този спрямо на нея – ъгъл на възвишение.

Географските координати също са вариант на сферичните координати. Полюсът е в центъра на Земята, екваториалната равнина е през екватора, нулевата посока в тази равнина минава през Гринуич. Ъглите се мерят в градуси, минути и секунди в 2-те посоки, като плюсът и минусът имат словесни наименования – източна и западна дължина, северна и южна ширина. Разстоянието се мери в метри, но не от центъра на Земята, а от морското равнище, като знаците пак имат словесни наименования – надморска височина и дълбочина.

 
Сферични координати

Трансформационните формули, които показват връзката между полярни и декартови координати, са следните:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
  •  

Тези формули са валидни, когато началото на дясна декартова координатна система Oxyz съвпадне с полюса O и когато положителните посоки на осите x и z съвпадат с посоките на лъчите e1 и e2, съответно.

Независимо че сферичните координати са се ползвали в астрономията на древността, първите опити да се дефинира крива върху сфера с уравнение между сферичните им координати е от XVIII в. Трансформационните формули, които изразяват декартовите чрез сферичните, са дадени от Лагранж през 1773 г. Обратните трансформационни формули са изведени от Феликс Клайн през 1881 г.

Цилиндрични координатиРедактиране

 
Цилиндрични координати

Цилиндричните координати са обобщение на полярните координати в случая на тримерно пространство.

Нека в равнина е въведена полярна координатна система с полюс т. О и нулев лъч o и ортогонално на равнината е построен втори лъч ν. Тогава в така получената цилиндрична координатна система произволна т. М в пространството има цилиндрични координати (r, Θ, h), дефинирани по следния начин:

  • цилиндричната координата r на M е равна на разстоянието от т. О до проекцията на т. M в равнината (радиус на цилиндъра).
  • цилиндричната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъча o и проекцията на M върху равнината. Дефиниционната област на Θ е [-π; π].
  • цилиндричната координата h на M е равна на дължината на проекцията от точка M към равнината.

Този вид координати са наречени цилиндрични, понеже r играе ролята на радиус на цилиндър, а h – на неговата височина. Цилиндричните се различават от сферичните координати в това, че те се състоят от два скалара и един ъгъл, а сферичните – от един скалар и два ъгъла.

Формулите за трансформация на цилиндрични координати към декартови и обратно са следните:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
  •  

Те са в сила, когато за начало на декартовата координатна система е избран полюсът O на цилиндричната, а лъчите x и z от декартовата съвпадат съответно с o и ν от цилиндричната.

ИсторияРедактиране

Потребността от използване на координати се появява под различни форми в географията, астрономията и математиката още във Вавилония и Древна Гърция. Познатите ни днес термини за координатните оси обаче започват да се използват със съвременното си значение едва през XVII в.

През XIV в. френският математик Никола Орем е строил графики, използвайки равнинни координати, които наричал „дължина“ и „широчина“ в смисъла на абсциса и ордината.

Терминът абсциса (abscissa) се употребявал широко в латинските преводи от гръцки на математически трудове. Смисълът, който обаче е бил влаган в термина, било „отсечка“. Тази практика се запазва за последно в трудовете на Бонавентура Кавалиери от 1635 г. През 1675 г. Готфрид Лайбниц налага новия прочит на термина абсциса като първа ос на координатната система.

Аполоний (ок. 260 – 170 г. пр.н.е.) нарича успоредните хорди в окръжността „линии прекарани поред“, като превежда словосъчетанието от гръцки на латински като „ordinatum applicata“. Оттук произхождат термините ордината и апликата, като впоследствие изразът се разпада и двете понятия започват да се употребяват самостоятелно в контекста на сечения на кръга.

Думата ордината в съвременния ѝ смисъл като втора координата на точка е използвана за първи път от Лайбниц (1694 г.). Приблизително по това време той въвежда и самия термин координата, като по този начин подчертава равноправието на абсцисата и ординатата.

Малко популярната дума апликата означава третата координатна ос, когато координатната система е пространствена.

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

  • „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, Абагар Холдинг, София, 1995.
  • „Математически термини“, Н. В. Александрова, ДИ „Наука и изкуство“, София, 1989.
  • "Физико-математическа и техническа енциклопедия, т. 2, Издателство на БАН, София, 2000.