Статистическа механика

Статистическата механика, също понякога наричана и статистическа физика, е приложението на математическата теория на вероятностите към класическата и квантовата механика.

Статистическата механика описва взаимодействията между голям брой частици (най-често от порядъка на числото на Авогадро) и свърза свойствата на елементарните частици с тези на макроскопичните обекти и свойства на материалите, както се наблюдават във всекидневния живот. Познатата ни термодинамика намира своята обосновка в рамките на статистическата физика. Главното предимство на статистическата механика пред термодинамиката е способността на статистическата механика да обясни свойствата на веществата на базата на теорията за взаимодействията между съставляващите ги частици.

Централно място и в двете теории заема идеята за ентропия, но в статистическата механика тя е функция от броя на възможните микросъстояния, докато в термодинамиката е емпирично изведена величина.

Основен принцип на статистическата механика

Основния принцип на статистическата механика гласи:

Дадена изолирана система в равновесие може да бъде намерена във всяко едно от възможните си микросъстояния с еднаква вероятност

Т.е. когато дадена изолирана система се намира в равновесие, тя може да е във всяко едно от възможните за нея микросъстояния, като няма физическа причина, която да привилегирова дадено микросъстояние, т.е. ако означим общия брой възможни микросъстояния с Ω, вероятността системата да е в кое да е от тях е ρ=1/Ω.

Като следствие от този принцип може да се посочи, че термодинамичното (макро-) състояние на системата е това, което е резултат от най-голям брой микросъстояния.

Частична обосновка за този постулат може да се намери в Теоремата на Лиувил, която гласи, че ако плътността на възможните състояния във фазовото пространство е равномерна в дадент момент, то тя остава такава с времето. Това позволява да се дефинира функцията информация (в рамките на теорията на информацията):

$I=\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle \ln \rho \rangle$, където ρ е вероятността системата да се намира в дадено микросъстояние, а с $\langle \cdot \rangle$ се обозначава средната стойност.

Лесно може да се пресметне, че когато всички ρ_i са равни помежду си, I е в минимум, което може да се интерпретира, че когато системата е в равновесие, информацията за нея е минимална. На практика, в теорията на информацията по-често се използва функцията -I, която понякога се нарича „липса на информация“ и е еквивалентна на ентропията в статистическата механика и термодинамиката.

Микроканонично разпределение

Микроканоничното множество се отнася за затворена система, за каквато важи и втория принцип на термодинамиката. Ентропията на такава система може само да нараства, а когато ентропията е в максимум, термодинамичната система е в равновесие. Енергията на затворена система е константа – E, а за системата са достъпни само тези микросъстояния, в които енергията на системата би била равна на E. Нека обозначим с Ω(E) тези микросъстояния, които са достъпни за система с енергия E. В термодинамиката Ω наричаме термодинамична вероятност и тя се дефинира като броят на микросъстоянията, с които може да се осъществи дадено макросъстояние. Тогава ентропията на системата се изразява с:

$S=k_{B}\ln \Omega$, където S е ентропията, а k_B – константата на Болцман.

Канонично разпределение

С идеята за канонично разпределение може да се изведе вероятността $P_{i}\$ дадена макроскопична система да е в термично равновесие, при положение, че се намира в произволно кое да е микросъстояние с енергия $E_{i}\$. Тази вероятност се изчислява според разпределението на Болцман:

$P_{i}={e^{-\beta E_{i}} \over {\sum _{j}^{j_{max}}e^{-\beta E_{j}}}}$

с $\beta ={1 \over {kT}}$,

Самото използване на температурата $T\$ като физична величина е възможно само при термично равновесие на разглежданата система с околната среда. Сборът от вероятностите на отделните микросъстояния трябва да дава 1 (условие за нормировка), което определя стойността на статистическата сума в знаменателя:

$Z=\sum _{j}^{j_{max}}e^{-\beta E_{j}}$

където $E_{i}\$ е енергията на $i\$тото микросъстояние на системата. Статистическата сума е мярка за позволените за дадена система микросъстояния при дадена температура.

Така, вероятността дадена система, при температура $T\$ да се намира в микросъстояние с енергия $E_{i}\$ е:

$P_{i}={\frac {e^{-\beta E_{i}}}{Z}}$

За такава система (в термично равновесие) можем да изразим следните величини като функция от статистическата сума:

Свободна енергия на Хелмхолц:	$F=-{\ln Z \over \beta }$
Вътрешна енергия:	$U=-\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}\right)_{N,V}$
Налягане:	$P=-\left({\partial F \over \partial V}\right)_{N,T}={1 \over \beta }\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial V}}\right)_{N,T}$
Ентропия:	$S=k(\ln Z+\beta U)\,$
Свободна енергия на Гибс:	$G=F+PV=-{\ln Z \over \beta }+{V \over \beta }\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial V}}\right)_{N,T}$
Енталпия:	$H=U+PV\,$
Специфичен топлинен капацитет при постоянен обем:	$C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{N,V}$
Специфичен топлинен капацитет при постоянно налягане:	$C_{P}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{N,P}$
Химичен потенциал:	$\mu _{i}=-{1 \over \beta }\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial N_{i}}}\right)_{T,V,N}$

Голямо канонично разпределение

Ако разглежданата система не е затворена, броят частици не е постоянен с времето, трябва да разглеждаме химични потенциали, а вместо каноничното разпределение трябва да се използва голямото канонично разпределение:

$\Xi (V,T,\mu )=\sum _{i}\exp \left(\beta \left[\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}N_{ij}-E_{i}\right]\right)$

Където $N_{ij}$ е броят на частиците от j-тия вид в i-тото микросъстояние. Понякога, към тази функция могат да се добавят различни величини, които са първи интеграли, които спокойно могат да бъдат разглеждани като термодинамични (и химични) потенциали. В повечето системи, които се изучават от физиката на кондензираната материя, са нерелативистични, така че масата се запазва. Повечето системи във физиката на кондензираната материя са с постоянен брой частици, и масата (в нерелативистичния смисъл на думата) е просто сборът на масите на отделните мастици. ()$m=\sum _{i}N_{i}$, където N_i е броят частици от i-тия вид (всеки вид частици се характеризира с дадена плътност). Масата е обратно пропорционална на плътността, а спрегната на плътността променлива е налягането.

Величини, които могат да се дефинират като производни на статистическата сума на голямото канонично разпределение:

Голям термодинамичен потенциал:	$\Phi _{G}=-{\ln \Xi \over \beta }$
Вътрешна енергия:	$U=-\left({\frac {\partial \ln \Xi }{\partial \beta }}\right)_{\mu }+\sum _{i}{\mu _{i} \over \beta }\left({\partial \ln \Xi \over \partial \mu _{i}}\right)_{\beta }$
Брой частици:	$N_{i}={1 \over \beta }\left({\partial \ln \Xi \over \partial \mu _{i}}\right)_{\beta }$
Ентропия:	$S=k(\ln \Xi +\beta U-\beta \sum _{i}\mu _{i}N_{i})\,$
Свободна енергия на Хелмхолц:	$F=G+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}=-{\ln \Xi \over \beta }+\sum _{i}{\mu _{i} \over \beta }\left({\frac {\partial \ln \Xi }{\partial \mu _{i}}}\right)_{\beta }$

Източници

• Chandler, David. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford University Press, 1987. ISBN 0-19-504277-8.
• Huang, Kerson. Statistical Mechanics. Wiley, John & Sons, Inc, 1990. ISBN 0-471-81518-7.
• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles. Thermal Physics (2nd ed.). W. H. Freeman Company, 1980. ISBN 0-7167-1088-9.
• McQuarrie, Donald. Statistical Mechanics (2nd rev. ed.). University Science Books, 2000. ISBN 1-891389-15-7.
• Dill, Ken; Bromberg, Sarina. Molecular Driving Forces. Garland Science, 2003. ISBN 0-8153-2051-5.
• Hubert Krivine. Cours de Mecanique Statistique (PDF) // Université Paris 11, 2005 – 8. Посетен на 08.02.2008. (на френски)
• Валентин Попов. Записки по статистическа физика // сайт на СУ. Архивиран от оригинала на 2016-03-04. Посетен на 22.02.2008.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Statistical mechanics в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​

• Портал „Физика“