Сферична координатна система

В математиката, сферична координатна система се нарича координатна система за определяне на положението на точка в тримерно пространство.

Сферични координати (r, θ, φ) с нотация във физиката (ISO конвенция): полярен радиус r, полярен ъгъл θ (тита) и азимут φ (фи). Вместо r, може да се ползва символа ρ (ро).

Сферични координати (r, θ, φ) с нотация в математиката: полярен радиус r, азимут θ, и полярен ъгъл φ. Значенията на θ и φ са размененени спрямо конвенцията във физиката.

Положението на точката $P$ се представя с тройка сферични координати $(r,\;\theta ,\;\varphi )$, където $r$ – е полярния радиус на точката, $\varphi$ – е нейния азимут, а $\theta$ – е полярния ѝ ъгъл (наричан още ъгъл на инклинация или зенитен ъгъл).

Във физиката е приета конвенция за обозначаване на полярния ъгъл и азимут като $\varphi$ и $\theta$. В математиката полярния ъгъл и азимут се обозначават като $\theta$ и $\varphi$ (обратно), което трябва да се има предвид при цитиране на източници.

Дефиниция

За дефиниция на сферична координатна система се избира ос (полярната ос $Z$) и перпендикулярна на $Z$ равнина. Оста $Z$ пресича равнината в координатното начало $O$. Върху равнината се избира лъч с начало $O$, който определя референтния вектор за измерване на азимута (оста $X$).

Сферичните координати $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ на точка $P$ се дефинират като:

• $r$ – полярния радиус от координатното начало $O$ до $P$.
• $\theta$ – ъгъла между оста $Z$ и полярния радиус $r$ на точката $P$.
• $\varphi$ – ъгъла между оста $X$ и проекцията на полярния радиус на точката $P$ върху равнината $XY$.

Ъглите $\theta$ и $\varphi$ са неопределени при $r=0$, а $\varphi$ е неопределен при $\sin(\theta )=0$ (при $\theta =0$ или $\theta =180^{\circ }$).

Знакът за азимут се определя от предварително дефинирана положителна посока на въртене спрямо оста $Z$.

Мерни единици

Ъглите се измерват в градуси (°) или радиани (rad), където $360^{\circ }=2\pi$[rad]. Мерки на ъгли в градуси се използват най-често в географията, астрономията и инженерните науки. В теоретичната физика и математиката се предпочитат мерки в радиани. Мерната единица за полярен радиус r се определя при дефиницията на координатната система.

Граници

При дефиницията на координатната система се поставят гранични стойности за ъглите $\theta$ и $\varphi$. Обичайно $\theta \in {\mathopen {[}}0^{\circ },180^{\circ }{\mathclose {]}}$ и $\varphi \in {\mathopen {[}}0^{\circ },360^{\circ }{\mathclose {)}}$ (в радиани: $\theta \in {\mathopen {[}}0,\pi {\mathclose {]}}$ и $\varphi \in {\mathopen {[}}0,2\pi {\mathclose {)}}$). Предпочитаните граници в географските координатни системи са $\theta \in {\mathopen {[}}-90^{\circ },90^{\circ }{\mathclose {]}}$ и $\varphi \in {\mathopen {(}}-180^{\circ },180^{\circ }{\mathclose {]}}$.