Кубичен корен

В математиката, кубичен корен от число x е такова число a, че a³ = x. Всички реални числа (освен нула) имат точно един реален кубичен корен и два комплексно спрегнати кубични корена. Всички ненулеви комплексни числа имат три различни комплексни кубични корена. Например реалният кубичен корен на ³√8 е 2, защото 2³ = 8, докато другите кубични корени на 8 са −1 + √3i и −1 − √3i.

Операцията за кубичен корен не е асоциативна или дистрибутивна при събиране и изваждане. Все пак, тя е асоциативна при степенуване и дистрибутивна при умножение и деление, ако се взимат предвид само реални числа, но не винаги, ако се взимат предвид комплексни числа: например, кубът на всеки кубичен корен от 8 е 8, но трите кубични корена на 8³ са 8, −4 + 4i√3 и −4 − 4i√3.

История редактиране

Изчисляването на кубичния корен може да бъде проследено до вавилонските математици от 1800 г. пр. Хр.^[1] През IV век пр. Хр. Платон поставя проблема за удвояването на куба, който изисква построения с линийка и пергел на ръба на куб с двойно по-голям обем от даден куб. Това изисква построяването на невъзможната дължина ³√2.

Метод за намиране на кубични корени присъства в „Математика в девет книги“, китайски математически текст съставен около II век пр. Хр.^[2] Гръцкият математик Херон измисля метод за изчисляване на кубични корени през I век сл. Хр.^[3] През 499 г. Ариабхата, математик и астроном от класическата ера на индийската математика, дава метод за намиране на кубичния корен на числа с много цифри в Ариабхатия.^[4]

Формално определение редактиране

Кубичните корени на число x са числата y, които удовлетворяват равенството

y^{3}=x.\

Реални числа редактиране

За всяко реално число y, съществува едно реално число x такова, че x³ = y. Кубичната функция е нарастваща, така че не дава същия резултат за две различни числа, а и покрива всички реални числа. С други думи, тя е биекция. Следователно, може да се определи обратна функция. При реалните числа, може да се определи един-единствен кубичен корен за всички реални числа. Ако се използва това определение, кубичният корен на отрицателно число е отрицателно число.

Трите кубични корена на 1.

Ако x и y са комплексни, то тогава съществуват три решения (ако x не е нула) и така x има три кубични корена. Реалното число има един реален кубичен корен и два допълнителни кубични корена, образуващи комплексно спрегната двойка.

Например, кубичните корени на числото 1 са:

{\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}\ \ 1\\-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.\end{cases}}

Последните два от тези корени водят до връзка между всички корени на кое да е реално или комплексно число.

Комплексни числа редактиране

Риманова повърхнина на кубичен корен.

За комплексни числа, главният кубичен корен обикновено се определя като кубичния корен с най-голяма реална част или чийто аргумент има най-малка абсолютна стойност. Той е свързан с главната стойност на естествения логаритъм чрез формулата

x^{\tfrac {1}{3}}=\exp({\frac {1}{3}}\ln {x}).

Ако се напише x като

x=r\exp(i\theta )\,

където r е неотрицателно реално число и θ лежи в тази област

-\pi <\theta \leq \pi

,

то главният комплексен кубичен корен е

{\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).

Това означава, че в полярни координати се взема кубичния корен на радиуса и полярният ъгъл се дели на три за да се определи кубичния корен. По тази дефиниция, главният кубичен корен на отрицателно число е комплексно число и, например, ³√−8 няма да е −2, а 1 + i√3.

Това ограничение лесно може да бъде избегнато, ако се напише първоначалното комплексно число x в три еквивалентни форми или по-конкретно

x={\begin{cases}r\exp {\bigl (}i\theta {\bigr )},\\r\exp {\bigl (}i\theta +2i\pi {\bigr )},\\r\exp {\bigl (}i\theta -2i\pi {\bigr )}.\end{cases}}

Главните комплексни кубични корени на тези три форми са съответно

{\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp {\bigl (}{\frac {i\theta }{3}}{\bigr )},\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp {\bigl (}{\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2\pi }{3}}{\bigr )},\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp {\bigl (}{\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2\pi }{3}}{\bigr )}.\end{cases}}

Освен при x = 0, тези три комплексни числа са различни, въпреки че трите образа на x са еднакви. Например, ³√−8 може да бъде изчислено като −2, 1 + i√3, или 1 − i√3.

Вижте също редактиране

Квадратен корен

Източници редактиране

↑ Saggs, H. W. F. Civilization Before Greece and Rome. Yale University Press, 1989. ISBN 978-0-300-05031-8. с. 227.
↑ Crossley, John, W.-C. Lun, Anthony. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999. ISBN 978-0-19-853936-0. с. 213.
↑ Smyly, J. Gilbart. Heron's Formula for Cube Root // Hermathena 19 (42). Trinity College Dublin, 1920. с. 64 – 67.
↑ Aryabhatiya Архив на оригинала от 2011-08-15 в archive.today на маратхийски: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.62, ISBN 978-81-7434-480-9

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Cube root в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.

[cbgr-1] Saggs, H. W. F. Civilization Before Greece and Rome. Yale University Press, 1989. ISBN 978-0-300-05031-8. с. 227.

[oxf-2] Crossley, John, W.-C. Lun, Anthony. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999. ISBN 978-0-19-853936-0. с. 213.

[3] Smyly, J. Gilbart. Heron's Formula for Cube Root // Hermathena 19 (42). Trinity College Dublin, 1920. с. 64 – 67.

[4] Aryabhatiya Архив на оригинала от 2011-08-15 в archive.today на маратхийски: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.62, ISBN 978-81-7434-480-9

[1]

[2]

[3]

[4]