Средногеометрична стойност

(пренасочване от Средно геометрично)

Средногеометрична стойност или средногеометрично (CG) в математиката и статистиката е вид средна стойност на множество от числа, която се получава чрез умножаването им и намиране на -ти корен от произведението им. Тя е частен случай на средностепенната стойност при степенен показател и частен случай на средното квази-аритметично (средно на Колмогоров) при при .

Средногеометричното на две числа се нарича още среднопропорционално,[1] тъй като средната геометрична стойност на две числа и има следното свойство: , т.е. средногеометричното е спрямо първото число същото, което е второто число спрямо средногеометричното.

Пример за средно геометрично: (чeрвено) е на и ,[2][3] в пример, в който отсечката е дадена като перпендикуляр на (има 10 s пауза между всяко изпълнение на анимация)

Съгласно определението средногеометричното на множеството числа   се дава с формулата

 

или еквивалентно като средно аритметично в логаритмичен мащаб:

 

Най-често числата са ограничени до неотрицателни, за да се избегнат усложнения, свързани с това, че отрицателните числа нямат реални корени, и често те са ограничени до положителни, за да се даде възможност за използване на логаритми.

Така например, ако са дадени числата 4 и 9, първо се намира тяхното произведение и след това се взима квадратен корен от него:  .
Като друг пример, средното геометрично на трите числа 1, 4 и 1/32 е кубичният корен от тяхното произведение (1/8), който е 1/2, тоест  .

Доказателство

редактиране

Може да се пренапише дефиницията за средностепенно  , използвайки експоненциалната функция

 ,

където се приема, че   и сумата от   без загуба на обобщеност.

В граничния преход s → 0 можем да се приложи правилото на Лопитал към аргумента на експоненциалната функция. Приема се, че s ∈ R и s ≠ 0.[4] Разграничавайки числителя и знаменателя по отношение на s, имаме

 
 

Поради непрекъснатостта на експоненциалната функция можем да се замести обратно в горната връзка и се получава[5]

 ,

което е желаният резултат.

Свойства

редактиране
  • Като всяка друга средна стойност, средната геометрична стойност се намира между минимума и максимума на всички числа:
 
  или
 .

Това са трите класически средни на Питагор. За всички положителни набори от данни, съдържащи поне една двойка неравни стойности, средната хармонична винаги е най-малката от трите средни, средната аритметична винаги е най-голямата, а средната геометрична винаги е между тях. Това свойство се използва при дефиниране на междинни средни стойности, които са модификации на основните.

  • Средногеометричното на две числа   е средното аритметично-хармонично на тези числа, тоест то е равно на границата на две последователности:
 
  • Средногеометричното на две числа е равно на средногеометричното на техните средноаритметично и средно хармонично:[6]
 

Модификации

редактиране

Междинни средни стойности

редактиране

Средната геометрична стойност на набор от числа е по-малка от средната аритметична стойност на набора от числа, освен ако всички членове на набора от числа не са равни, в който случай средните геометрични и аритметични са равни. Това позволява дефинирането на средното аритметично-геометрично, пресечна точка на двете, която винаги е между тях.

Средното геометрично е също така средното аритметично-хармонично в смисъл, че ако за две последователности ( ) и ( ) са дефинирани средната аритметична   и средната хармонична стойност   на предишните стойности на двете последователности

 

и

 ,

тогава   и   ще се сближат до средното геометрично на   и  . Последователностите се събират до обща граница и средното геометрично се запазва:

 .

Замяната на средната аритметична и хармонична с чифт средностепенни на противоположни, крайни показатели дава същия резултат.

Средногеометрично претеглено

редактиране

Среднопретеглената геометрична стойност на набор от реални числа   с реални тегла   се определя като

 

В случай, че всички тегла са равни, средното геометрично претеглено е равно на средното геометрично.

Приложение

редактиране

Средната геометрична стойност често се използва за набор от числа, чиито стойности са предназначени да бъдат умножени заедно или са експоненциални по природа, като например набор от числа за растеж: стойности на човешкото население или лихвени проценти на финансова инвестиция във времето. Прилага се и за тест за производителност в сравнителния анализ (например при компютърни архитектури), където е особено полезна като изчислително средство за коефициенти на ускоряване: тъй като средната стойност от 0,5x (наполовина по-бързо) и 2x (два пъти по-бързо) ще бъде 1 (т.е. без цялостно ускоряване).

Пропорционално нарастване

редактиране

Средногеометричното е по-уместно за прилагане от средноаритметичното за описване на пропорционално нарастване. В бизнеса CG на степента на нарастване е известно като „съставна годишна мярка за растеж“ (compound annual growth rate, CAGR). Средногеометричното значение на нарастването за определени периоди дава еквивалентна константа на нарастване, която дава същата крайна сума.

Пример: Ако едно ябълково дърво дава 100 ябълки първата година и по 180, 210 и 300 през следващите години, нарастванията за всяка година са съответно 80 %, 16,6666% и 42,8571%. Използвайки средноаритметичното значение на нарастванията, се получава стойност на средно нарастване 46,5079 % (80 % + 16,6666 % + 42,8571 % разделено на 3). Обаче, ако се започва със 100 ябълки и се приложи нарастване от 46,5079 % за всяка година, в резултат ще се получи 314 ябълки, а не 300.

За изчисляване на средногеометричното значение се представят процентните нараствания като числа: нарастването от 80 % като коефициент е 1,8 пъти, 16,6666 % е 1,166666, а 42,8571 % е 1,428571 пъти. Така средногеометричното на 1,8, 1,166666 и 1,428571 е  , което е равно на 44,2249 % годишен растеж. Ако се започне със 100 ябълки и се приложи средно нарастване от 44,2249 % всяка година, ще се получи верният резултат от 300 ябълки.

За да се определи средният темп на растеж, не е необходимо да се взема произведението на измерените темпове на растеж на всяка стъпка. Нека количеството е дадено като последователност  , където   е броят на стъпките от началното до крайното състояние. Скоростта на растеж между последователните измервания   и   е  . Средната геометрична стойност на тези темпове на растеж тогава е просто:

 

Геометрия

редактиране

Средната геометрична стойност може да бъде разбрана от гледна точка на геометрията. Средногеометричното на две числа   и   е дължината   на едната страна на квадрат, чиято площ   е равна на площта на правоъгълник със страни с дължини   и  :   и  . По същия начин, средногеометричното на три числа  ,   и   е дължината   на един ръб на куб, чийто обем е същият като този на паралелепипед със страни, чиито дължини са равни на трите дадени числа:   и  .

 
Средногеометрично на отсечки:
 
 
Доказателство за средногеометрична височина в правоъгълен триъгълник.
От Питагоровата теорема:  ; ;  ;    ;  

Теорема за средната геометрична стойност: Височината на правоъгълен триъгълник, спусната към хипотенузата, е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата, а всеки катет е средната пропорционална стойност между хипотенузата и неговата проекция върху хипотенузата.

Това дава геометричен начин за конструиране на средното геометрично на два сегмента (отсечки): трябва да се построи окръжност върху сумата от тези две отсечки като диаметър, а след това височината, издигната от точката на тяхната връзка до пресичането с окръжността ще даде желаната стойност.

В една елипса малката полуос е средната геометрична стойност на максималното и минималното разстояние на елипсата от фокуса; това е и средното геометрично на голямата полуос и фокалната полу-хорда. Голямата полуос на елипса е средното геометрично на разстоянието от центъра до всеки фокус и разстоянието от центъра до която и да е директриса.

Ако в две диаметрално противоположни точки на кръг с радиус r r се приложи натиск, той се деформира в елипса с голяма полуос a и малка полуос b.

Тъй като площта на кръга и елипсата остава същата, имаме:

 

Радиусът на окръжността е средното геометрично на голямата и малката полуоси на елипсата, образувана от деформирането на окръжността.

 
Средно геометрична допирателна

Разстоянието до хоризонта на сферата (допирателна) е средното геометрично между разстоянието до най-близката точка на сферата и разстоянието до най-отдалечената точка на сферата.

Средната геометрична стойност се използва както при приближението на квадратура на кръга от С. А. Paмaнюян,[7] така и при конструирането на седемнадесетоъгълника със „средни пропорционални“.[8]

Вижте също

редактиране

Външни препратки

редактиране

Източници

редактиране
  1. «Среднее пропорциональное». — статия от Большая советская энциклопедия.
  2. Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu, and Stacey Luong On Compass and Straightedge Constructions: Means // UNIVERSITY of WASHINGTON, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, 2013. Посетен на 14 June 2018.
  3. Euclid, Book VI, Proposition 13 // David E. Joyce, Clark University, 2013. Посетен на 19 July 2019.
  4. Handbook of Means and Their Inequalities (Mathematics and Its Applications).
  5. P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 175-177
  6. Роу С. – Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. Архивная копия от 13 августа 2020 на Wayback Machine
  7. Ramanujan, S. Modular equations and approximations to π // Quarterly Journal of Mathematics 45. 1914. с. 350–372.
  8. T. P. Stowell – Extract from Leybourn's Math. Repository, 1818 in The Analyst via Google Books