Уравнение на Шрьодингер
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
Серия статии на тема Квантова механика |
Основни понятия
Теории
Експерименти
Физици
|
Уравнението на Шрьодингер е постулат в квантовата механика. То е частно диференциално уравнение от втори ред за еволюцията на вълновата функция:
или съкратено:
където е (евентуално) зависещия от времето оператор на Хамилтон за дадената система. В случаите, когато потенциалът не зависи явно от времето, енергията на системата е интеграл на движението и вълновата функция може да се представи като произведение на осцилиращ член (където е енергията на системата), който не зависи от координатите и временезависима координатна част , която се намира като решение на т.нар. стационарно уравнение на Шрьодингер:
или
Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в представяне на Шрьодингер.
Извод
редактиранеКратък евристичен извод
редактиранеСледващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.
Допускания
редактиране- Пълната енергия E на една частица е
- Това е класически израз за частица с маса m, където пълната енергия E е сума от кинетичната енергия и потенциалната енергия V (която може да се променя с местоположението и времето). p и m са съответно импулса и масата на частицата.
- Хипотезата на Планк за квантите на светлината от 1905 г., съгласно която енергията E на фотона е пропорционална на честотата ν (или ъгловата честота, ω = 2πν) на съответстващата електромагнитна вълна:
- където честотата на фотона е свързана с константата на Планк h,
- и е ъгловата честота на вълната.
- Хипотезата на дьо Бройл от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоциирана с вълна, а също и че импулсът на частицата p е свързан с дължината на вълната λ (или вълновото число k) по следния начин:
- където е дължината на вълната, а – нейното вълново число.
- Изразявайки p и k като вектори, имаме
Тези три допускания позволяват да изведем уравнението само за плоска вълна. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и принципа за суперпозицията, като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е линейно.
Изразяване на вълновата функция като комплексна плоска вълна
редактиранеГолямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на плоската вълна като комплексен фазов фактор
и да си да даде сметка, че доколкото
- ,
то
По подобен начин от
и
се стига до
така че, отново за плоска вълна, той получава:
След като заместим тези изрази за енергията и импулса в класическата формула, с която започнахме, получаваме прочутото уравнение на Шрьодингер за единична частица в три измерения при наличие на потенциал V: